前面，我们在《无理数的认识》那一讲中曾经谈到，人们知道无理数已经有很长的历史了，可是要清晰地表达无理数却是相当困难的。事实上，要能够清晰地表达无理数，首先要变换有理数的表达方式。我们曾经称可以表示为m/n的数为有理数，其中m,n∈Z，n≠0。当然，在这个基础上是可以定义无理数的，比如，称不能表示为分数形式的数为无理数，但是这个定义实在是很难判断，特别是与数轴之间很难建立起对于关系。因此，我们首先建立能与数轴对应的有理数的定义，这就需要用小数来定义有理数。那么，分数与小数之间有什么关系呢？一个(0,1)上的小数可以一般地表示为
两种形式，其中a1 ，a2，…，ap是取值0或者1到9的自然数。我们称A为有限小数，B为无限小数。可以发现，有的分数可以化为有限小数，有的分数虽然不能化为有限小数，但是去能化为循环的无限小数，比如，
等等。这个表达是不是具有一般性呢？也就是说，是否“所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数”呢？答案是肯定的，我们来证明这个结论。
考虑分数m/n，不失一般性，我们假定m 那么，现在是否就可以用“有限和无限循环小数”来定义有理数呢？为时过早，如果要对一个已有的定义构造一个新的定义，那么，这个新的定义的前提与结论必须是充分必要的，因为只有这样才能保持定义的等价性，为此，我们还需要证明“有限小数或者无限循环小数都能化为分数”。由（1）式，一个有限小数可以写为 这显然可以对应于一个分数。一个无限循环小数可以分为两部分，一部分是前面有限个（可以是0个）不循环项，然后是无限个循环项，不失一般性，我们假定无限循环小数是由循环项构成的，这样，（2）式可以写为 其中，C=0.a1a2…ap，括号中是一个等比级数，公比是1/10q
因为1/10q<1，容易验证当n→∞时sn→1/1-1/10q，因此 这显然是一个分数，因而是一个有理数。 现在，我们可以给出有理数的基于小数的定义了：“有理数是有限小数或者无限循环小数”。进而可以得到无理数的定义：“无理数是无限非循环小数”。在这个基础上，可以得到实数的定义：“有理数和无理数统称为实数”。我们用R表示实数的全体所构成的集合。我们终于把实数刻画清楚了，并且还知道实数是与数轴上的点对应的。 我们还需要通过建立实数的运算来检验这种实数的定义是否合适。显然，这个运算是以有理数的四则运算为基础的，而重点是解决无理数的运算。以√2与√3的运算为例，下面是利用计算器计算的结果。由√2=1.4142135…和√3=1.7320508…，可以得到 因此，利用“无限非循环小数”定义无理数进行四则运算是可行的。事实上，在计算机中就是这样进行运算的。 但是，我们应当如何证明√2•√3=√6呢？当然可以计算出√6=2.4494896…，虽然这个结果与上面的计算结果很接近，但是这样依赖验证的方法来证明无穷的情况是不合适的，并且得不到一般性的结果，即无法证明对于所有的正实数a和b均有√a•√b=√a•b。所有，用无限非循环小数定义无理数是直观的，对于运算也是可行的，但对于给出证明，特别是给出一般性的结果是不方便的。 为了解决上面的问题，从魏尔斯特拉斯开始，以后有许多数学家，包括德国数学家戴德金，康托，在1872年左右几乎同时发表文章，建立他们的实数理论。接下来，我们一起来了解一下两个主要的方法，他们是“基本序列方法”和“戴德金分割方法”。 耳朵，让我们聆听美妙的音乐，让我们感知多彩的世界，如果它出现了问题，我们的世界将会变成无声的。耳朵里，经常会有一些脏东西出现，绝大多数人也养成了一个习惯，定期掏耳朵，这个习惯看似好… 文财神有二种，分为财帛星君，以及福禄寿三星。（1）财帛星君他的外形很富态，是一个面白长髭的长者，身穿锦衣系玉带，左手捧着一只金元宝，右手拿着写上“招财进宝”的卷轴，面似富家翁。相… 任务的条件毒蛇神殿开门任务藏得很深，你需要进入盘牙水库副本群的奴隶围栏（英雄模式），找到异教徒囚徒斯卡希斯接任务。要想接到任务，至少具备以下三个条件。1.知道奴隶围栏副本在哪里… 苏东坡的词《水调歌头》是一首大家都非常耳熟能详的名作，这首词是中秋之夜，苏东坡思念弟弟苏辙时所作，语言优美、感情真挚，词的末尾，苏东坡写道“但愿人长久，千里共婵娟”，我们都知道，这… 腰肌劳损是后天造成的疾病，腰肌劳损的后天原因是因为患者经常不注意对腰部腰肌的保护，过度使用腰肌，让自己的腰肌一直处在一个劳累的状态，就会引发腰肌劳损疾病。还有一个原因是因为腰部腰肌… 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，这是唐初诗人王勃《滕王阁序》中脍炙人口的千古绝唱。千百年来，“阁”因“序”传名，“序”因“阁”流长。江南三大名楼之首南昌滕王阁。滕王阁，江南三… 随着社会的不断发展和进步，人们的思想观念也有了很大的转变，以前很多人都是以结婚生子为终极目标。努力奋斗赚钱就是未来将来孩子能过上更好的生活。但是现在很多人的想法，不一样了，他们并没… 八仙是中国古代民间传说中的八位神仙，均来自人间，而且都有精彩纷呈的凡间故事，之后才得道成仙，这与天界下凡的神仙神圣庄严的形象截然不同，所以深受民众喜爱。八仙在民间传说中都是神通广… 立秋陈朝·周弘让押庚韵兹晨戒流火，商飙早已惊。云天收夏色，木叶动秋声。立秋日题安昌寺北山亭盛唐·孙逖五言排律 押萧韵引用典故：伍胥潮楼观倚长霄，登攀及霁朝。… 您的电子邮箱地址不会被公开。必填项已用*标注 这个人很懒，什么都没有留下～
，其中q≧1。用sn表示前n项部分和，即
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